这一章给“表”下一个严格的定义，再讲怎样描述一张表，以及怎样保证表里的数据是对的。
课件的三个板块拆成五节。2.1 关系的形式化定义及性质分成两节，先从域搭到关系，再讲关系头、关系体和五条性质。2.2 关系模式单独一节，2.3 关系的码和关系的完整性分成两节，先讲候选码、主码、外码，再讲三类完整性。
第 1 章说关系模型建立在严格的数学概念之上，这一章就是那套概念。定义 2.1 到定义 2.7 一共七条，每一条都在说表的某一个部分：域说一列能取什么值，笛卡尔积和关系说表是怎样搭出来的，关系模式说表怎么描述，码和完整性说表里的数据靠什么管住。
一张 Excel 表要满足什么条件，才配叫“关系”？
三个板块回答三个问题：表在数学上是什么，怎样描述一张表，表里的数据靠什么保证是对的。
2.1 从域出发一步步搭出关系，相当于讲砖和墙。2.2 的关系模式是表的说明书，相当于讲图纸。2.3 的码是认出一行的依据，完整性是三条必须遵守的规矩，相当于讲验收标准。考试最常考的是候选码的判断和三类完整性的归类，分别在第四节和第五节。
第 1 章第 46 页说关系是一张规范化的二维表，表名、表头、表体三部分。这一章把三个部分各自换成数学的说法：表头是关系头，表体是关系体，整张表是笛卡尔积的一个子集。
“码”这个字，你猜是指什么？
域是一组类型相同的值的集合，域里值的个数叫基数。
“相同数据类型”是说一个域里的值必须是同一种东西，整数和姓名不能混在一个域里。三个例子都来自第 1 章表 1-1 的教师关系 t：D1 是姓名一列出现过的六个名字，D2 是性别一列的男和女，D3 是年龄一列的六个数。基数就是数一数域里有几个不同的值。
点单时辣度只能选微辣、中辣、特辣，这三个值就是辣度的域，基数是 3。填“很辣”会被退回，因为它不在域里。
“星期几”这个域，基数是多少？
笛卡尔积是从每个域各取一个值拼成有序组，所有拼法合起来的集合。
花括号表示这是一个集合。竖线左边写的是集合里的元素长什么样，是一个 n 位的小括号。竖线右边是条件，第 i 位的值必须来自第 i 个域。元组是有序的，(1，2，3) 和 (2，3，1) 是不同的元组，因为第一位有第一位的含义，位置换了含义就换了。
穿衣搭配：上衣域、裤子域、鞋域各选一件，一套搭配是一个元组，上衣是这个元组的一个分量。顺序有意义，因为上衣就穿在上面，不能和鞋换位置。
两个域各有 3 个值，它们的笛卡尔积里有几个元组？
笛卡尔积的基数等于各个域基数的乘积，姓名 6 个乘性别 2 个等于 12 个元组。
第一个位置有 m1 种选法，第一位不管选什么，第二个位置都有 m2 种选法，所以两位合起来是 m1 乘 m2 种，往后每加一个域再乘一次。12 个元组里有一半在现实里并不存在，比如 (刘杨，女)，笛卡尔积只负责列出全部可能，不负责判断真假，这正是下面几页要讲的事。
基数相乘，4 乘 2 乘 3 等于 24。选 9 的是把三个数加起来了，笛卡尔积的规则是相乘，不是相加。
如果再加一个有 4 个值的“职称”域，元组个数变成多少？
食堂点餐三列各选一个，2 乘 3 乘 2 等于 12 种套餐，这就是笛卡尔积。
每列各取一个，对应定义里的“di 来自 Di”。全部列出，对应“所有元组的集合”，一种搭配都不能漏。数量是个数相乘，对应上一页的基数公式。课件下半页把定义 2.2 的三个术语各配了一句人话：有序是位置有意义，分量是小括号里的每一位，基数是个数相乘。
如果饮料只剩茶一种，套餐还有几种？
6 个名字和 2 种性别逐一配对，得到 12 个二元组。
每个名字都要和男、女各配一次，一个都不漏，所以刘杨出现了两次，石丽也出现了两次。两个域的笛卡尔积里每个元组有两个分量，所以叫二元组。这 12 个二元组里只有 6 个是真的，另外 6 个只是可能。
班级合影排队，6 个人每人试两种站位，一共 12 张照片，其中大半照片里的站位并不是真实安排。笛卡尔积就是把这 12 张照片全部洗出来。
12 个二元组里，哪几个是现实里真有的？
笛卡尔积可以画成一张二维表，每个元组是一行，每个域是一列。
花括号换成表格，一个元组换成一行，一个域换成一列，表头 tn 和 sex 就是后面要讲的属性名。表上 12 行里有 6 行是假的，说明笛卡尔积只是原材料，真正的表要从这 12 行里挑。
一张空白排班表列出了所有人和所有班次的全部组合，真正的排班只在其中几格打勾。全部组合是笛卡尔积，打了勾的那几格是关系。
这张表里，哪一列的值来自姓名域？
关系（表）是若干域的笛卡尔积中的一个子集，笛卡尔积是全部可能，表是满足约束的那部分可能。
先列出全部可能，再从中挑出真实存在的，得到的就是表。挑选的依据叫约束，这个词到第五节会变成“完整性”。这一页是整章的分水岭，前面的域和笛卡尔积都是为了说清“全部可能”，后面的关系、模式、码都在说“挑出来的那部分”。
食材两两随便搭配是笛卡尔积，餐厅真正卖的那几道菜是关系。菜单上没有“可乐炒米饭”，不是因为它拼不出来，而是因为它不符合约束。
“子集”这个词意味着表里可能出现笛卡尔积之外的行吗？
定义 2.3 把关系写成 R(D1, D2, …, Dn)，R 是关系的名字，n 是关系的目或度，也就是列数。
图上一行是一个元组，一列是一个属性，每一列的值来自一个域，属性的名字必须唯一。教师关系 T1 是从 12 行里挑出来的 6 行，它的度是 2。
| tn 姓名 | sex 性别 |
|---|---|
| 刘杨 | 男 |
| 刘杨 | 女 |
| 石丽 | 男 |
| 石丽 | 女 |
| 顾伟 | 男 |
| 顾伟 | 女 |
| 赵礼 | 男 |
| 赵礼 | 女 |
| 赵希希 | 男 |
| 赵希希 | 女 |
| 张刚 | 男 |
| 张刚 | 女 |
教师关系 T1 的度是多少，基数是多少？
关系等于若干域的笛卡尔积中的一个有意义的子集，再给它起个名字 R。
域是一列允许出现的取值范围，属性是一列的名字，元组是一行，度是列数，关系是有名字的子集。课件特别提醒同一个关系里属性名必须唯一，两列都叫 name，查询时就分不清要哪一列。
课件的餐厅比方：笛卡尔积像把所有食材随便搭在一起，关系是餐厅真正卖的菜，从所有可能的搭配里筛掉没意义的，只留符合约束的那些，再给这道菜起个名字，这个名字就是 R。
一张只有一列的表，算不算关系？
四点说明：按度分单元、二元关系，元组个数是基数，属性名唯一而不同列可以同域，实际中的关系是有意义的子集。
域和属性不是一回事，“职业”和“兼职”两列可以来自同一个域{教师，工人，辅导员}，但必须有不同的名字。属性是列的名字，域是列的取值范围，一个域可以被好几列共用。表头一样的两张表叫同类关系，比如今年的学生表和去年的学生表。
度是列数，也就是属性的个数，这里是 8。基数是元组的个数，也就是行数，这里是 6。两个数不能相乘也不能相加。
“职业”和“兼职”两列来自同一个域，值可以相同吗？